二叉树
特点
性质
二叉树的创建
声明
创建
成员运算符->
批量创建
完全二叉树的创建
打印二叉树
普通二叉树的创建
二叉树的遍历
层序遍历
先序遍历
中序遍历
后序遍历
递归法
前中后序对比
DFS遍历
树的相关术语
特殊二叉树
满二叉树
完全二叉树
二叉树
树（Tree）是n(n≥0)个节点的有限集。在任意一棵树中有且仅有一个特定的称为根（Root）的节点；当n＞1时，其余节点可分m(m＞0)为个互不相交的有限集T1,T2,...,Tm；其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树（SubTree）。
二叉树（Binary Tree）是一种特殊的有序树型结构，所有节点最多只有2棵子树。
特点
（1）每个节点至多有两棵子树；
（2）二叉树的子树有左右之分；
（3）子树的次序不能任意颠倒（有序树）。
性质
（1）二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个节点（i≥1）。
（2）深度为h的二叉树中至多含有2^h-1个节点(h≥1)。
（3）若在任意一棵二叉树中，有n0个叶子节点，有n2个度为2的节点，则必有n0=n2+1。
（4）具有n个节点的满二叉树深为log2n+1。
（5）若对一棵有n个节点的完全二叉树进行顺序编号（1≤i≤n），
那么，对于编号为i（i≥1）的节点：
当i=1时，该节点为根，它无双亲节点。
当i>1时，该节点的双亲节点的编号为i/2。
若2i≤n，则有编号为2i的左节点，否则没有左节点。
若2i+1≤n，则有编号为2i+1的右节点，否则没有右节点。
二叉树的创建
声明
struct TreeNode {
int val;
TreeNode* left;
TreeNode* right;
TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
};
在C/C++语言中，经常使用 NULL 来表示空指针。
NULL在头文件里的定义：
#ifndef NULL
#ifdef __cplusplus
#define NULL 0
#else
#define NULL ((void *)0)
#endif
#endif
即在 C++中，NULL 被定义为整形常量 0，而在 C 中，被定义为无类型指针常量 (void*) 0 。
C++11标准增加了新的关键字 nullptr，表示空指针。
建议使用C++11及以上版本的用以下的二叉树声明：
struct TreeNode {
int val;
TreeNode* left;
TreeNode* right;
TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
};
创建
#include
struct TreeNode {
int val;
TreeNode* left;
TreeNode* right;
TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
};
int main() {
TreeNode* root = new TreeNode(1);
root->left = new TreeNode(2);
root->right = new TreeNode(3);
root->right->left = new TreeNode(4);
root->right->right = new TreeNode(5);
return 0;
}
创建结果：
成员运算符->
指向结构体或对象的指针访问其内成员。当一个指针指向一个结构体、对象时，称之为结构体指针或对象指针。结构体指针或对象指针中的值是所指向的结构体或对象的首地址。通过结构体指针或对象指针即可访问该结构体或对象。
结构体指针变量定义的一般形式为：
struct 结构体类型名 *指针名; //结构体指针 struct 结构体类型名 *指针名 = &一个结构体的名字; //结构体指针并赋初值 struct 结构体类型名 *指针名 = new struct 结构体类型名; //结构体指针并用new申请内存 struct 结构体类型名 *指针名 =(struct 结构体类型名 *)malloc(sizeof(struct 结构体类型名)) //结构体指针并用malloc申请内存 使用应包含头文件stdlib.h
子树root->left, root->right 还可以 . 运算表示，也是成员运算符。两者的区别：
点运算符 . 左边必须用 * 寻址运算符取到指针root指向的结构或者对象实体，如(*root)；对比箭头状的成员运算符 -> ，其左边必须为结构体指针，如root。
TreeNode* root = new TreeNode(1);
(*root).left = new TreeNode(2);
(*root).right = new TreeNode(3);
(*(*root).right).left = new TreeNode(4);
(*(*root).right).right = new TreeNode(5);
批量创建
上例只是创建5节点，如要建更多节点，这样一个一个增加节点写起来复杂；可以用数组或容器等可迭代数据类型批量来创建。
完全二叉树的创建
_______1________
/ \
__2__ ___3___
/ \ / \
4 5 _6 _7
/ \ / \ / \ / \
8 9 10 11 12 13 14 15
代码：
#include
#include
using namespace std;
struct TreeNode
{
int val;
TreeNode *left;
TreeNode *right;
TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
};
TreeNode* buildTree(vector& nums)
{
if (nums.empty()) return nullptr;
TreeNode *root = new TreeNode(nums.front());
vector q = {root};
int i = 1;
while(!q.empty() && i left = new TreeNode(nums[i++]);
q.push_back(cur->left);
}
if(i right = new TreeNode(nums[i++]);
q.push_back(cur->right);
}
}
return root;
}
int main()
{
vector nums = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15};
TreeNode *root = buildTree(nums);
return 0;
}
创建后，可以用代码把二叉树打印出来以供验证：
打印二叉树
#include
#include
using namespace std;
struct TreeNode
{
int val;
TreeNode *left;
TreeNode *right;
TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
};
TreeNode* buildTree(vector& nums)
{
if (nums.empty()) return nullptr;
TreeNode *root = new TreeNode(nums.front());
vector q = {root};
int i = 1;
while(!q.empty() && i left = new TreeNode(nums[i++]);
q.push_back(cur->left);
}
if(i right = new TreeNode(nums[i++]);
q.push_back(cur->right);
}
}
return root;
}
void levelOrderPrint(TreeNode* root)
{
if(!root) return;
vector q = {root};
while(!q.empty())
{
int size = q.size();
for(int i = 0; i left);
if(cur->right)
q.push_back(cur->right);
}
cout left = new TreeNode(nums[i]);
q.push(cur->left);
}
i++;
if(i right = new TreeNode(nums[i]);
q.push(cur->right);
}
i++;
}
return root;
}
void levelOrder(TreeNode* root)
{
if(!root) return;
queue q;
q.push(root);
while(!q.empty())
{
int size = q.size();
for(int i = 0; i left);
if(cur->right)
q.push(cur->right);
}
cout left = new TreeNode(nums[i]);
q.push(cur->left);
}
i++;
if(i right = new TreeNode(nums[i]);
q.push(cur->right);
}
i++;
}
return root;
}
int countNodesAtLevel(TreeNode* root, int level)
{
if(root == nullptr) return 0;
if(level == 0) return 1;
return countNodesAtLevel(root->left, level - 1) + countNodesAtLevel(root->right, level - 1);
}
TreeNode* getNodeAtLevel(TreeNode* root, int level, int index)
{
if(root == nullptr) return nullptr;
if(level == 0)
{
if(index == 0) return root;
else return nullptr;
}
TreeNode *left = getNodeAtLevel(root->left, level - 1, index);
if(left != nullptr) return left;
return getNodeAtLevel(root->right, level - 1, index - countNodesAtLevel(root->left, level - 1));
}
void levelOrder(TreeNode* root)
{
int level = 0;
while(true)
{
int cnt = countNodesAtLevel(root, level);
if(cnt == 0) break;
for(int i = 0; i right = new TreeNode(nums[i]);
q.push(cur->right);
}
i++;
}
return root;
}
void preOrderTraversal(TreeNode* root) {
if (root == nullptr) {
return;
}
cout val left);
preOrderTraversal(root->right);
}
void inOrderTraversal(TreeNode* root) {
if (root == nullptr) {
return;
}
inOrderTraversal(root->left);
cout val right);
}
void postOrderTraversal(TreeNode* root) {
if (root == nullptr) {
return;
}
postOrderTraversal(root->left);
postOrderTraversal(root->right);
cout val right); cout val left, res);
res.push_back(root->val);
inorderTraversal(root->right, res);
}
DFS遍历
DFS会用到，直接打印版：
#include
#include
#include
#include
#define null INT_MIN
using namespace std;
struct TreeNode
{
int val;
TreeNode *left, *right;
TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
};
TreeNode* buildTree(vector& nums)
{
if (nums.empty()) return nullptr;
TreeNode *root = new TreeNode(nums.front());
queue q;
q.push(root);
int i = 1;
while(!q.empty() && i left = new TreeNode(nums[i]);
q.push(cur->left);
}
i++;
if(i right = new TreeNode(nums[i]);
q.push(cur->right);
}
i++;
}
return root;
}
void preOrderTraversal(TreeNode* root) {
stack st;
TreeNode* node = root;
while (node != nullptr || !st.empty()) {
while (node != nullptr) {
cout val left;
}
node = st.top();
st.pop();
node = node->right;
}
}
void inOrderTraversal(TreeNode* root) {
stack st;
TreeNode* node = root;
while (node != nullptr || !st.empty()) {
while (node != nullptr) {
st.push(node);
node = node->left;
}
node = st.top();
st.pop();
cout val right;
}
}
void postOrderTraversal(TreeNode* root) {
stack st;
TreeNode* node = root;
TreeNode* last = nullptr; // 上一次访问的节点
while (node != nullptr || !st.empty()) {
while (node != nullptr) {
st.push(node);
node = node->left;
}
node = st.top();
if (node->right == nullptr || node->right == last) {
// 右子树为空或已经访问过
cout val right;
}
}
}
int main()
{
vector nums;
for (int i = 0; i left != nullptr) {
q.push(node->left);
}
res.push_back(node->val);
if (node->right != nullptr) {
q.push(node->right);
}
}
return res;
}
树的相关术语
节点：包含一个数据元素及若干指向其子树的分支，又的译成“结点”（Node）
根：树和子树的“顶点”（Root）
度：节点拥有的子树数量称为节点的度（Degree）；树的度是指树内个结点的度的最大值
分支节点：度不为0的节点
叶子：没有子树的节点，即它的度为0 （Leaf）
子节点：结点的子树的根称为该节点的孩子（Child）
父节点：对应子节点上一层(level)节点称为该节点的双亲（Parent）
兄弟结点：同一父节点的子节点，互称兄弟（Sibling）
节点的祖先：是从根到该结点所经分支上的所有节点
节点的子孙：以某结点为根的子树中的所有节点
层：从根开始，根为第一层，根的孩子为第二层...（Level）
深度：树中结点的最大层次数，称为树的深度或高度 （Depth or Height）
森林：是很多互不相交的树的集合（Forest）
无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，这种树称为无序树，也称为自由树
有序树：树中任意节点的子节点之间有顺序关系，这种树称为有序树
最大树（最小树）：每个结点的值都大于（小于）或等于其子结点（如果有的话）值的树
特殊二叉树
满二叉树
所有层的节点都达到最大数量，叶子除外的所有节点都有两个子节点，所有叶子都在最底一层(k)且数目为2^(k - 1)。即深度k且有2^k - 1个节点(叶子“长”满最后一层)，或称完美二叉树 （Perfect Binary Tree）
______12_______
/ \
__3__ __5__
/ \ / \
_7 6 _9 11
/ \ / \ / \ / \
13 8 1 4 10 2 0 14
完全二叉树
如果删除最底一层的所有叶子它就是满二叉树，即除了最后一层，每层节点都达到最大数量 ，即有深度k的个节点数在左闭右开【2^(k-1)+1,2^k-1】区间内。（Complete Binary Tree）
________3______
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___11___ __4__
/ \ / \
14 7 9 13
/ \ / \ /
2 5 8 6 1
完全二叉树性质：
1. 具有N个节点的完全二叉树的深度为[log2 N]+1，其中[x]为高斯函数，截尾取整。
2. 如果对一棵有n个节点的完全二叉树的节点按层序编号（从第一层到最后一层，每层从左到右），则对任一节点，有：
（1）如果i=1，则节点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1,则其双亲节点为[i/2]；
（2）如果2i>n，则节点i无左孩子；否则其左孩子是节点2i；
（3）如果2i+1>n，则节点i无右孩子；否则其右孩子是节点2i+1。
