DeepSORT（目标跟踪算法）中 可以设置阈值进行异常检测或目标跟踪的原因
flyfish
https://Github.com/shaoshengsong/DeepSORT
利用卡方分布的特性来设置合理的阈值进行异常检测或目标跟踪。
设定和定义
假设我们有一个 k k k 维的随机向量 X \mathbf{X} X，其服从均值向量 μ \boldsymbol{\mu} μ 和协方差矩阵 Σ \Sigma Σ 的多维正态分布，即：
X ∼ N ( μ , Σ ) \mathbf{X} \sim \mathcal{N}(\boldsymbol{\mu}, \Sigma) X∼N(μ,Σ)
马氏距离定义为：
D M ( X , μ ) = ( X − μ ) T Σ − 1 ( X − μ ) D_M(\mathbf{X}, \boldsymbol{\mu}) = \sqrt{(\mathbf{X} - \boldsymbol{\mu})^T \Sigma^{-1} (\mathbf{X} - \boldsymbol{\mu})} DM(X,μ)=(X−μ)TΣ−1(X−μ)
我们需要证明：
D M 2 ( X , μ ) = ( X − μ ) T Σ − 1 ( X − μ ) D_M^2(\mathbf{X}, \boldsymbol{\mu}) = (\mathbf{X} - \boldsymbol{\mu})^T \Sigma^{-1} (\mathbf{X} - \boldsymbol{\mu}) DM2(X,μ)=(X−μ)TΣ−1(X−μ)
服从自由度为 k k k 的卡方分布，即：
D M 2 ( X , μ ) ∼ χ k 2 D_M^2(\mathbf{X}, \boldsymbol{\mu}) \sim \chi^2_k DM2(X,μ)∼χk2
步骤
- 标准化随机向量：设
Y
=
Σ
−
1
/
2
(
X
−
μ
)
\mathbf{Y} = \Sigma^{-1/2} (\mathbf{X} - \boldsymbol{\mu})
Y=Σ−1/2(X−μ)，其中
Σ
−
1
/
2
\Sigma^{-1/2}
Σ−1/2 是协方差矩阵
Σ
\Sigma
Σ 的逆的平方根矩阵，使得：
Σ − 1 / 2 Σ Σ − 1 / 2 = I \Sigma^{-1/2} \Sigma \Sigma^{-1/2} = \mathbf{I} Σ−1/2ΣΣ−1/2=I这样 Y \mathbf{Y} Y 的协方差矩阵为单位矩阵：
Y ∼ N ( 0 , I ) \mathbf{Y} \sim \mathcal{N}(\mathbf{0}, \mathbf{I}) Y∼N(0,I)
- 马氏距离平方的变换：由于
Y
=
Σ
−
1
/
2
(
X
−
μ
)
\mathbf{Y} = \Sigma^{-1/2} (\mathbf{X} - \boldsymbol{\mu})
Y=Σ−1/2(X−μ)，则：
( X − μ ) T Σ − 1 ( X − μ ) = Y T Y = ∑ i = 1 k Y i 2 (\mathbf{X} - \boldsymbol{\mu})^T \Sigma^{-1} (\mathbf{X} - \boldsymbol{\mu}) = \mathbf{Y}^T \mathbf{Y} = \sum_{i=1}^{k} Y_i^2 (X−μ)TΣ−1(X−μ)=YTY=∑i=1kYi2
- 卡方分布的性质：对于
k
k
k 维独立的标准正态分布
Y
∼
N
(
0
,
I
)
\mathbf{Y} \sim \mathcal{N}(\mathbf{0}, \mathbf{I})
Y∼N(0,I)，其每个分量
Y
i
Y_i
Yi 独立且服从标准正态分布，即
Y
i
∼
N
(
0
,
1
)
Y_i \sim \mathcal{N}(0, 1)
Yi∼N(0,1)。因此，
∑
i
=
1
k
Y
i
2
\sum_{i=1}^{k} Y_i^2
∑i=1kYi2 是
k
k
k 个独立标准正态随机变量的平方和，根据卡方分布的定义：
∑ i = 1 k Y i 2 ∼ χ k 2 \sum_{i=1}^{k} Y_i^2 \sim \chi^2_k ∑i=1kYi2∼χk2
- 结论：综上所述，我们得出：
( X − μ ) T Σ − 1 ( X − μ ) = Y T Y = ∑ i = 1 k Y i 2 ∼ χ k 2 (\mathbf{X} - \boldsymbol{\mu})^T \Sigma^{-1} (\mathbf{X} - \boldsymbol{\mu}) = \mathbf{Y}^T \mathbf{Y} = \sum_{i=1}^{k} Y_i^2 \sim \chi^2_k (X−μ)TΣ−1(X−μ)=YTY=∑i=1kYi2∼χk2
因此，马氏距离的平方 D M 2 ( X , μ ) D_M^2(\mathbf{X}, \boldsymbol{\mu}) DM2(X,μ) 在多维正态分布下服从自由度为 k k k 的卡方分布。
